1
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
6
 
Categoría
Resolución de ecuaciones

Encontrar la raíz cerca de de empezando con . ¿Cuán exacta es la estimación después de cuatro iteraciones del método de Newton? ¿Cuántas iteraciones requiere el método de la bisección para lograr la misma exactitud?. Tabule el número de dígitos correctos en cada iteracción del método de Newton y observe si se duplican cada vez. La solución correcta es x = 0.49404364.

Solución disponible
nicco
 

Para obtener una solución a mediante el método de Newton, dada la función diferenciable y una aproximación inicial , utilizamos el siguiente algoritmo:

 
(Haz click para ver la imagen a tamaño real)
Figura 1. (Haz click para ver la imagen a tamaño real)

En nuestro caso, dada la aproximación inicial y las funciones y , para iteraciones, tenemos la siguiente tabla de los valores obtenidos:

N
0 1.000000 -4.000000 -1.400000 0.714286
1 0.714286 -1.070682 -6.901590 0.559150
2 0.559150 -0.230598 4.046242 0.502159
3 0.502159 -0.025100 -3.174613 0.494222
4 0.494222 -0.000545 -3.060792 0.494043

En este método iterativo debería cumplirse que el número de decimales de exactitud se duplica en cada iteración. Como podemos comprobar en la tabla, esto se cumple para con tres decimales exactos, y con seis decimales exactos. La tolerancia alcanzada mediante el método de Newton es de . Para saber cuántas iteraciones son necesarias para lograr dicha tolerancia mediante el método de la bisección, con el intervalo , hay que encontrar un número entero que satisfaga:

(1)

por tanto, tenemos

(2)

Vemos pues, que para el método de la bisección se necesitarían, aproximadamente, el doble de iteraciones que para el método de Newton.

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