Antes de empezar a calcular símbolos de Christoffel como condenados vamos a establecer la estrategia a seguir para resolver el problema. Nos piden que transportemos paralelamente un vector a lo largo de una curva determinada, que es equivalente a imponer que su derivada covariante a lo largo de dicha curva se anule. Es decir, si nuestro vector es y el vector tangente a la curva en cuestión es , entonces debemos imponer:

(1)

que en componentes se escribe:

(2)

donde es el parámetro de la curva definida por .

Esto nos da una ecuación diferencial para cada una de las componentes del vector (una para cada valor del índice ). Si las integramos obtendremos para cada componente una solución del tipo . Estas soluciones nos dan, para cada punto de la curva, cuáles tienen que ser las componentes de para que éste sea transportado paralelamente hasta ese punto. Por lo tanto, dando valores a obtendremos las componentes del tranporte paralelo de en ese punto de la curva, que es lo que nos piden que calculemos.

Y ahora vayamos a por los cálculos explícitos. Los más avispados ya habrán reparado en la necesidad de conocer los símbolos de Christoffel, , para poder resolver las ecuaciones (2). Lo más común es calcularlos a partir de la métrica de nuestra variedad mediante la conocida fórmula:

(3)

donde las se refieren a las coordenadas que estemos utilizando (en nuestro caso será y ). Daros buena cuenta de que hay una suma en el índice !

Figura 1. Parametrización de nuestro toroide. (Haz click para ver la imagen a tamaño real)

Por lo tanto vamos a calcular en primer lugar el tensor métrico a partir de las ecuaciones que definen nuestra variedad (ver figura 1):

(4)

Los vectores base en las coordenadas son:

(5)

Calculamos las componentes de la métrica a partir de la definición:

En este desarrollo hemos utilizado la multilinealidad del tensor métrico y el hecho conocido de que en la base cartesiana tenemos , como se indica en los corchetes horizontales inferiores.

Procediendo igual que en el caso anterior obtenemos:

(7)

Finalmente, encontramos explícitamente y calculando las parciales y (recordemos que , , ):

(8)

Introduciendo estos resultados en la expresión para i nos queda:

(9)

Con lo cual:

(10)

Ahora ya podemos calcular los símbolos de Christoffel mediante la ecuación (3), teniendo en cuenta que es la componente de la inversa de . En nuestro caso, como es diagonal tenemos:

(11)

y por lo tanto

(12)

Vamos pues a por los símbolos de Christoffel. Lo primero que debemos ver para ahorrarnos algunos cálculos es que en la suma sobre el índice en la ecuación (3), solamente sobrevivirá el sumando correspondiente a porque es diagonal y por lo tanto para . Además, si examinamos la ecuación (3) podemos ver que, si es simétrica (y en nuestro caso lo es), los símbolos de Christoffel también serán simétricos respecto a los dos subíndices , pues nos damos cuenta de que al hacer la permutación intercambiamos el orden de los dos primeros sumandos de (3), lo cual no afecta al resultado, a la vez que pasamos de a en el tercero, que tampoco nos afecta por ser simétrica. Por lo tanto:

(13)

Y con todo esto por fin podemos calcular las ecuaciones (2).

Para el primer caso tenemos:

(14)

Esto nos da las siguientes dos ecuaciones (una para cada valor del índice ), en las que hemos desarrollado la suma en e :

(15)

En cada una de las ecuaciones podemos eliminar términos si consideramos que algunas de las son nulas, según hemos calculado más arriba, y si nos damos cuenta de que y , pues es el vector tangente a la curva. Por lo tanto las dos ecuaciones anteriores quedan reducidas a:

pero como estamos en una curva en la que constantemente :

(17)

por lo tanto las componentes de no cambian al transportarlo paralelamente a lo largo de la curva indicada en el primer apartado.

En el segundo apartado debemos proceder exactamente igual. El vector tangente a la curva es el mismo de antes, pero en este caso tenemos que . Las ecuaciones quedan:

(18)

Para resolver este sistema hay que desacoplarlo. En este caso es sencillo. En primer lugar derivamos las ecuaciones (18) para obtener:

(19)

Ahora introducimos el resultado de (19) en (18) para obtener las ecuaciones del oscilador armónico simple:

(20)

Las soluciones son archiconocidas:

(21)

Para determinar las constantes , , y necesitamos conocer las funciones y sus derivadas en algún punto (por ejemplo en ). Del enunciado tenemos que y . Y de las ecuaciones (1.3) y (1.4) encontramos que:

Con todo esto encontramos que , , y (no creo necesario explicitar el cálculo realizado para llegar a estos resultados). Por lo tanto:

(23)

Para vemos que:

(24)

Y este resultado completa nuestro problema.