Segunda Ecuación de Newton

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Date: Mayo 2003

1 La Segunda Ecuación de Newton

Newton definió en sus Principia Mathematica la fuerza como:

$\displaystyle \vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t}$ (1)

Es decir, como la variación del momento lineal (también llamado cantidad de movimiento o ímpetu) con el tiempo. Este es, sin duda, el resultado más importante de la mecánica clásica, ya que es la ecuación que nos permitirá conocer el estado de un sistema en un instante dado sólo con saber la fuerza que actúa sobre él.

1.1 Masa constante

El momento lineal de una partícula se define como $\vec{p}\equiv m\vec{v}$ , es decir, el producto de la velocidad de la partícula y su masa inercial. En los casos en los que esta masa es constante en el tiempo (i.e., la masa no aumenta ni disminuye) la Segunda Ecuación de Newton toma la forma:

$\displaystyle \vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t}=\frac{d (m\vec{v})}{d t}=m\frac{d \vec{v}}{d t}=m\vec{a}$ (2)

Donde $ \vec{a}=\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^2}$ (con $\vec{r}$ vector posición de la partícula) es la aceleración de ésta. Es decir, que la fuerza que se aplica sobre una partícula le confiere a ésta una aceleración $\vec{a}$ inversamente proporcional a la masa de la misma.

1.2 Equivalente angular

Otra ecuación que se usa mucho es la ecuación equivalente angular; definiendo $\vec{N}\equiv\vec{r}\times\vec{F}$ y $ \vec{L}\equiv\vec{r}\times\vec{p}$ :

$\displaystyle \vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times\dot{\vec{p}}=\frac{d\vec{L}}{dt}$ (3)

2 Parámetros

En la Segunda Ecuación de Newton aparecen los siguientes parámetros:

  • $\vec{F}$ : Fuerza que se le aplica al cuerpo o partícula, que hace que un cuerpo o partícula modifique su momento lineal (en módulo, dirección y/o sentido).
  • $ \vec{p}$ : Velocidad que lleva el cuerpo o partícula, es igual a la variación temporal del vector posición ( $ \vec{v}=\dot{\vec{r}}$ ).
  • $\vec{a}$ : Aceleración que la fuerza provoca sobre el cuerpo o partícula, igual a la variación temporal de la velocidad ( $\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}$ ).
  • $\vec{N}$ : Momento de la fuerza.
  • $\vec{L}$ : Momento angular.
  • $m$ : Masa inercial, que es la resistencia de un cuerpo o partícula a ser movido cuando se ejerce una fuerza sobre él.

3 Invariancia de Galileo

Un sistema se dice inercial si en él se cumple las leyes del movimiento de Newton, es decir, todo cuerpo libre de fuerzas se mueve a velocidad constante (o permanece en reposo). Un sistema así se llama inercial.

Cuando un sistema de referencia se mueve con velocidad uniforme respecto a un sistema inercial, este nuevo sistema también es inercial, ya que en él también se cumplen las leyes de Newton, a esto se lo conoce como Invariancia de Galileo (a veces también se le llama Relatividad de Newton). En esta invariancia el tiempo se considera absoluto (el mismo para todos los sistemas).

Por tanto, en todo sistema de reverencia inercial se cumple que $\vec{F}=m\vec{a}$ .

4 Aplicabilidad

La Segunda Ecuación de Newton no es siempre válida, pasamos a describir cuando deja de ser útil:

  • Esta ecuación no tiene en cuenta que la velocidad máxima que se puede alcanzar es $c$ (velocidad de la luz en el vacío). Para velocidades ``bajas'' la Segunda Ecuación de Newton sigue siendo válida, pero a velocidades comparables a la velocidad de la luz en el vacío se necesita utilizar la Teoría de la Relatividad.
  • Cuando tratamos con objetos microscópicos, tales como partículas elementales (electrones, neutrones...) esta ecuación tampoco nos sirve. Debemos utilizar la mecánica cuántica para dar cuenta del comportamiento de las partículas.
  • Si tratamos con sistemas complicados debido a la cantidad de objetos en estudio (como pueden ser las $10^{19}$ moléculas existentes en un centímetro cúbico de gas) el uso de la Segunda Ecuación de Newton es insostenible, en este caso se debe emplear la Mecánica Estadística.

5 Teoremas de conservación

De la Segunda Ecuación de Newton se derivan tres teoremas de conservación que son muy importantes a la hora de resolver un problema físico:

  • Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nulo, el momento lineal se conserva:

    $\displaystyle \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=0 \Rightarrow \vec{p}=$constante (4)

  • Si la resultante de los momentos de las fuerzas es nula, el momento angular se conserva:

    $\displaystyle \vec{N}=\frac{d\vec{L}}{dt}=0 \Rightarrow \vec{L}=$constante (5)

  • Si la fuerza es conservativa también se cumple que se conserva la energía total del sistema (suma de la energía cinética y la energía potencial).

Se pueden demostrar teoremas equivalentes para sistemas de partículas.

6 Observaciones

Aunque estuvo vigente durante más de 200 años, la mecánica de Newton no es exacta, es un límite de la teoría cuántica cuando el tamaño se hace grande y de la teoría de la relatividad cuando las velocidades son pequeñas. De todos modos, es lo suficientemente válida como para dar cuenta de los hechos de la vida cotidiana.

Existen otros métodos para dar cuenta de los hechos, como por ejemplo la mecánica analítica (que se rije por las Ecuaciones de Lagrange o las Ecuaciones de Hamilton), en todo caso los resultados obtenidos son los mismos.

Surge una complicación cuando se estudian los sistemas de más de dos cuerpos interactuando entre si, por muy simple que sea esta interacción (como por ejemplo la gravitatoria), no se pueden obtener soluciones en forma explícita del movimiento de los cuerpos, se deben usar métodos numéricos.