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Ecuación de Klein-Gordon

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Date: Enero 2004

1 Introducción

La ecuación de Klein-Gordon representa la primera tentativa de unificar las ideas cuánticas con la relatividad especial de Einstein. Puede ser inducida a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi, a partir de la analogía con la óptica geométrica, de un modo parecido a la ecuación de Schödinger; por lo que la ecuación de Klein-Gordon representa un auténtica alternativa, a priori, de la de Schödinger. De hecho, el propio Erwin Schödinger la encontró antes que la versión no relativista que finalmente publicó en primer lugar, pero la descartó debido a que la mecánica ondulatoria basada en la ecuación de Klein-Gordon lleva a graves inconsistencias internas. Algunos de los problemas que presenta la mecánica ondulatoria basada en la ecuación de Klein-Gordon son la aparición de probabilidades negativas (hecho que prohibe la interpretación probabilística de la teoría), la aparición de energías negativas (un vestigio de la existencia de las antipartículas), la paradoja de Klein (relacionada con la creación de partículas en una barrera de potencial), etc.

Posteriormente, con el nacimiento de la Teoría Cuántica de Campos, se vio que las variables que aparecen en la ecuación de Klein-Gordon no podían ser tratadas como funciones de onda, con una interpretación probabilística, sino que debían considerarse como campos cuánticos. En el marco de la teoría cuántica de campos, la ecuación de Klein-Gordon es capaz de describir los estados cuánticos de las partículas de spin cero (escalares), ya sean neutras (campo real) o cargadas (campo complejo).

2 Formulación de la ecuación

La ecuación de Klein-Gordon se obtiene directamente de la ecuación relativista para la energía y el momento,

$$E^{ 2} = p^2 + m^2 ,$$ (1)

donde hemos escogido un sistema de unidades tal que $c = 1$ . Siguiendo el mismo procedimiento que en la ecuación de Schrödinger, se realiza la siguiente identificación,

$$\begin{split}E & \longrightarrow i \dfrac{\partial}{\partial... ... {\bf p}& \longrightarrow -i \boldsymbol\nabla . \end{split}$$ (2)

Tras substituir la identificación (2) en la ecuación (1), la ecuación se debe aplicar a un campo $\phi({\bf x},t)$ , de forma que obtenemos una ecuación diferencial de la forma

$$\left( \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \boldsymbol\nabla ^2 + m^2 \right) \phi({\bf x}, t) = 0 .$$ (3)

Una forma más habitual de escribir la ecuación de Klein-Gordon consiste en utilizar la notación $\partial_\mu \partial^\mu = \partial_t^2 - \boldsymbol\nabla ^2$ , donde $\partial_{ 0} = \partial_t$ y la métrica del espacio es la de Minkowsky, $\eta_{\mu\nu} =$   diag$(1,-1,-1,-1)$ (de hecho, esta elección de la métrica va implícita en la elección de los signos en la ecuación (2)). Finalmente, la ecuación de Klein-Gordon toma la forma

$$\left( \partial_\mu \partial^\mu + m^2 \right) \phi({\bf x}, t) = 0 .$$ (4)

3 Condiciones de validez de la ecuación

Tal i como hemos dicho anteriormente, la ecuación de Klein-Gordon no es válida cuando se trata como una ecuación de onda, con interpretación probabilística. Esta interpretación incorrecta de la ecuación a veces se llama mecánica cuántica relativista, sin embargo no debe ser considerada como una teoría física, ya que tiene manifiestas incoherencias internas.

Vista como una ecuación de campos, la ecuación de Klein-Gordon tan sólo puede describir las partículas relativistas sin spin, ya sean neutras o cargadas. En el caso de partículas cargadas, la ecuación de Klein-Gordon es capaz de describir correctamente las partículas y antipartículas.

4 Observaciones

Como ya hemos dicho,para evitar incoherencias internas $\phi({\bf x},t)$ debe se tratado como un campo cuántico, y no como una función de onda. Por lo tanto, pasa a ser considerada como un operador, en vez de una función. El campo puede escribirse en función de los operadores de creación y destrucción. Para el campo real (partículas neutras), la descomposición se escribe de la forma

$$\phi({\bf x},t) = \int \!\! \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3} \frac{... ... \mathrm{e}^{-i p \cdot x} + a^\dag _p \mathrm{e}^{-i p \cdot x} \right) ,$$ (5)

Donde $a^\dag _p$ y $a_p$ son los operadores de creación y destrucción. El operador de creación, $a^\dag _p$ , crea una partícula con un momento $p$ , mientras que el de destrucción, $a_p$ , la destruye. Para el campo complejo tenemos

$$\begin{split}\phi({\bf x},t) & = \int \!\! \frac{\mathrm{d}^3... ...dot x} + b_p \mathrm{e}^{i p \cdot x} \right) . \end{split}$$ (6)

donde $a^\dag _p$ y $a_p$ se refieren a la creación y destrucción de partículas, cargadas negativamente; mientras que $b^\dag _p$ y $b_p$ se refieren a la creación y destrucción de antipartículas, con carga positiva.

Debemos observar que tanto en la ecuación (5) como en la (6), los operadores de creación y destrucción (que van asociados con la interpretación de partículas) siempre van junto a una onda plana (que nos da la interpretación ondulatoria de la partícula). De esta forma, en la teoría cuántica de campos aparece por primer lugar una explicación de por qué las diferentes partículas pueden comportarse como partículas o como ondas, según en que situaciones; problema conocido como la dualidad onda-partícula.