Ecuación de Hamilton-Jacobi

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Date: Diciembre 2003

1 Formulación de la ecuación

1.1 Formulación general

la ecuación de Hamilton-Jacobi representa la formulación más potente de la mecánica clásica, y que de hecho proporciona el puente entre la mecánica clásica y la cuántica. En un sistema mecánico de $ N$ grados de libertad, representado por el hamiltoniano $ H({\bf {q}}, {\bf {p}}, t)$ la forma general de la ecuación de Hamilton-Jacobi es

$\displaystyle \boxed{ \dfrac{\partial S( {\bf{q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\... ...( {\bf{q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial {\bf{q}}} , t \right) = 0 \ , }$ (1)

donde $ {\boldsymbol{\alpha}}$ son $ N$ constantes del movimiento, que se determinan mediante las condiciones iniciales. La solución de esta ecuación, $ S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)$ se denomina función principal de Hamilton, y se puede interpretar como la acción del sistema. A partir de ella se puede encontrar completamente la trayectoria del sistema en el espacio de fases, $ \big({\bf {q}}(t), {\bf {p}}(t)\big)$ , a través de las ecuaciones

$\displaystyle {\bf {p}}(t)$ $\displaystyle = \dfrac{\partial S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial {\bf {q}}} \ ,$ (2)
$\displaystyle {\boldsymbol{\beta}}$ $\displaystyle = \dfrac{\partial S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial {\boldsymbol{\alpha}}} \ ,$ (3)

donde $ {\boldsymbol{\beta}}$ son las otras $ N$ constantes del movimiento. La ecuación (2) nos da directamente el momento en función del tiempo. Utilizando esta información, podemos invertir la ecuación (3) para obtener la posición en función del tiempo. En la sección de problemas de ésta misma web se pueden encontrar ejemplos de resolución de sistemas mecánicos mediante la ecuación de Hamilton-Jacobi.

2 Sistemas conservativos

Para sistemas conservativos, en que el hamiltoniano es una constante del movimiento, la energía, podemos identificar una de las constantes con la energía, $ \alpha_1 = E$ . Esto nos propone el siguiente ensayo para la función principal de Hamilton,

$\displaystyle S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t) = - E t + W({\bf {q}},{\boldsymbol{\alpha}}) \ ,$ (4)

donde $ W({\bf {q}},{\boldsymbol{\alpha}})$ se conoce como la función característica de Hamilton. De esta forma la ecuación de Hamilton-Jacobi queda de la forma

$\displaystyle \boxed{ H \!\! \left( \! {\bf{q}}, \, \dfrac{\partial W({\bf{q}}, {\boldsymbol{\alpha}})}{\partial {\bf{q}}} \right) = E \ . }$ (5)

2.1 Coordenadas cíclicas

En un sistema con coordenadas cíclicas, es decir, donde hay alguna coordenada $ q_i$ que no aparece explícitamente en el hamiltoniano, se puede realizar una simplificación en la ecuación de Hamilton-Jacobi. Del teorema de Noether sabemos que el momento conjugado de una variable cíclica siempre es una constante del movimiento, con lo cual podemos identificarlo con una de las constantes, $ p_i = \alpha_i$ , y de la ecuación (2), que ahora se escribe de la forma

$\displaystyle p_i = \alpha_i = \dfrac{\partial S({\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)}{\partial q_i} \ ,$ (6)

encontramos que la función principal de Hamilton se puede separar de la forma

$\displaystyle S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t) = \alpha_i q_i + \tilde S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t) \ ,$ (7)

donde $ \tilde S( {\bf {q}}, {\boldsymbol{\alpha}}, t)$ no depende de $ q_i$ . Este procedimiento se puede repetir para todas las coordenadas cíclicas del hamiltoniano en cuestión.

3 Demostración de la ecuación

La ecuación de Hamilton-Jacobi es consecuencia directa de las ecuación de Hamilton, y se deduce utilizando el método de las transformaciones canónicas. Una transformación canónica es un cambio de variables en el espacio de fases tal que mantiene invariante la forma de las ecuaciones de Hamilton.

Se puede demostrar, ver por ejemplo el Goldstein, que todas las transformaciones canónicas se pueden obtener a partir de una función generadora arbitraria, que se puede escoger de cuatro formas diferentes. Mediante una transformación de segundo tipo podemos realizar un cambio de variables a un nuevo sistema $ ( {\bf {P}}, {\bf {Q}})$ donde todas las variables y momentos sean constantes. La función generadora de esta transformación es la función principal de Hamilton.

Dado que las nuevas variables cumplirán también las ecuaciones de Hamilton, con un nuevo hamiltoniano, la forma de asegurar que todos los momentos y coordenadas sean constantes es que el nuevo hamiltoniano sea una constante; por ejemplo, cero. Se puede demostrar que el nuevo hamiltoniano es igual al anterior más la derivada temporal de la función generadora; si ha de ser nulo, obtenemos la ecuación (1).

Finalmente, se puede demostrar que las ecuaciones (2) y (3) nos dan la relación entre las nuevas variables y las viejas.

4 Condiciones de validez

Como ocurre con todas las ecuaciones de la mecánica analítica, la ecuación de Hamilton-Jacobi es universal, es decir, siempre es válida. No obstante, las predicciones que se realizan a partir de ella dependen del hamiltoniano que se utilice. Así, pues, la validez de éstas predicciones estará restringida a aquellas situaciones en que el hamiltoniano es correcto. De esta forma, pueden construirse hamiltonianos que tenga en cuenta la relatividad o la mecánica cuántica.

5 Comentarios

La ecuación de Hamilton-Jacobi es útil para aquellos sistemas que, en algunas coordenadas, son separables. Se puede demostrar, ver por ejemplo el Goldstein, que existen unas condiciones suficientes para un sistema sea separable, estas condiciones se llaman condiciones de Staekel.

Por otra parte, siguiendo una analogía con las ecuaciones de la óptica geométrica, se puede llegar a deducir, de forma heurística, la ecuación de Schödinger de la mecánica cuánica a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi. De hecho, este es el camino que Schödinger siguió para dar lugar a la mecánica ondulatoria que lleva su nombre, precursora de la actual Mecánica Cuántica.