Principio de Fermat

Barbol

1 El principio

1.1 Enunciado

El enunciado original del principio de Fermat decía "el camino entre dos puntos dados que recorre un rayo de luz es tal que para ese camino el tiempo que tarda la luz en recorrerlo es mínimo".

En términos más modernos, dado que los rayos de luz son sólo un modelo erróneo (aunque útil en algunos casos) de la óptica, el principio de Fermat se expresaría diciendo que "la luz, al ir de un punto a otro, sigue una trayectoria tal que el camino óptico recorrido es mínimo".

A pesar de esta corrección el principio de Fermat sigue siendo erróneo, dado que a veces la luz sigue un camino óptico máximo. Por tanto el principio se reformula a partir de la teoría variacional diciendo que "el camino óptico recorrido por la luz para ir de un punto a otro es tal que el camino óptico recorrido es estacionario respecto a las variaciones de los caminos posibles".

1.2 Formulación matemática

Matemáticamente se expresa este principio como sigue: el tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia $s$ en un medio dado es $t=s/v$, donde $v$ es la velocidad de la luz en ese medio (suponemos que la velocidad es constante en todo el medio, sin importar la dirección de desplazamiento). Definiendo el índice de refracción como $n=c/v$ entonces $t=\frac{sn}{c}$

Si ahora tomamos un medio en el que el índice de refracción depende de la posición $n=n(s)$ entonces podemos estimar que una distancia diferencial $ds$ se recorre en un tiempo $dt=\frac{n\,ds}{c}$, siendo el tiempo total en recorrer el camino entre un punto $A$ y otro $B$ la cantidad

\begin{displaymath} t=\frac{1}{c}\int_{A}^{B}n(s)\,ds. \end{displaymath}

Con lo cual el principio de fermat radica en encontrar los valores extremos de la función:


\begin{displaymath} \delta\int_{A}^{B}n(s)\,ds=0. \end{displaymath}

2 Efectos

2.1 El índice de refracción

Según hemos visto, el índice de refracción (que se define como el cociente entre la velocidad de la luz en un medio y la velocidad de la luz en el vacío) no es más que una medida del camino óptico que sigue la luz de modo que su minimización nos da la trayectoria del haz luminoso.

2.2 Trayectoria de la luz en un medio homogéneo e isótropo

Consideremos un medio homogéneo en el que se define un índice de refracción constante en todo el medio e independiente de la dirección de propagación de la luz. En ese caso la luz se propagaría siempre a la misma velocidad por ese medio, independientemente de la posición espacial y la dirección, con lo cual el camino que minimiza la distancia entre dos puntos no es ni más ni menos que el camino más corto entre esos dos puntos, lo que se corresponde con una línea recta en el espacio euclídeo tradicional.

Por tanto, si la luz se propaga en un medio homogéneo e isotropo la luz recorre una línea recta.

2.3 La ley de Snell

La ley de Snell se puede deducir a partir del principio de Fermat sin mucha complicación (al igual que la ley de la reflexión), en lugar de derivarla como se hace normalmente, imponiendo igualdad de fases en las ondas luminosas en la frontera entre dos medios.

Imaginemos dos medios separados por una superficie lisa de modo que tengamos una fuente luminosa en el punto $(x,b)$, la luz atraviesa la frontera entre los dos medios en el origen de coordenadas y llega al punto $(a-x,-d)$. Como los dos medios son homogéneos la luz recorrerá líneas rectas en ellos de modo que en el primer medio el tiempo que tarda es $t_{1}=n_{i}\sqrt{x^{2}+b^{2}}$ y en el segundo medio $t_{2}=n_{r}=\sqrt{(a-x)^{2}+d^{2}}$. El tiempo total que tarda la luz en llegar de un punto a otro es la suma de ambos.

Minimizando este tiempo tenemos:

\begin{displaymath} \frac{dt}{dx}=\frac{n_{i}x}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}}+\frac{n_{f}(a-x)}{\sqrt{(a-x)^{2}+d^{2}}}=0, \end{displaymath}

donde hemos igualado a cero para encontrar el valor extremal.

Pero justamente el cociente $\frac{x}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}}$ es el seno del ángulo que forma el rayo de luz incidente con la normal a la superficie ($\theta_{i}$) y el cociente $\frac{(a-x)}{\sqrt{(a-x)^{2}+d^{2}}}$ el seno del ángulo entre la normal a la superficie y el rayo refractado ($\theta_{r}$), con lo cual:

\begin{displaymath} n_{i}\mathop{\rm sen}\nolimits \theta_{i}=n_{f}\mathop{\rm sen}\nolimits \theta_{f}. \end{displaymath}

2.4 Posición aparente de las estrellas

En su camino desde la fuente luminosa que son las estrellas hasta nuestros ojos la luz recorre una gran distancia en el vacío, donde presenta su velocidad máxima, pero al llegar a la atmósfera tiene que atravesar varios kilómetros donde se encuentra un medio cada vez más denso y que posee un índice de refracción cada vez mayor, lo que hace que vaya más lenta.

Por esa razón, el frente de luz se irá curvando para estar el menor tiempo posible en las capas de la atmósfera donde va más lenta y de este modo cumplir con el principio de Fermat.

Sin embargo, cuando la luz llega a nuestros ojos nuestro cerebro no sabe qué camino recorrió y por ello imaginamos que siempre vino en línea recta. Por este motivo vemos a los astros (como el Sol y la Luna en los amaneceres y en los atardeceres) desviados siempre hacia el cénit, y es la razón de que cuando el Sol y la Luna salen los veamos ovalados.

2.5 Espejismos

Al igual que pasa con la luz proveniente de las estrellas, la luz proveniente de objetos puede llegar a nuestros ojos tras realizar una trayectoria curva al encontrarse con distintas capas de aire a diferentes temperatura, lo cual cambia su densidad y su índice de refracción. Esta es la explicación de que en los días de verano nos parezca ver charcos en el suelo: la luz proveniente de los objetos que tenemos delante y se dirige hacia el suelo se ve "curvada" al acercarse al suelo debido a que las capas de aire caliente están más cerca de él, terminando por llegar a nuestros ojos. Como ya dijimos antes, nuestro cerebro interpreta que esta luz proviene, ciertamente, del suelo, con lo que interpretamos que se reflejó en un charco.

Lo mismo ocurre a veces en el mar, pero al revés: vemos flotando en el aire barcos y accidentes geográficos que, en ocasiones, puede que incluso se encuentren más allá del horizonte.