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Colección de problemas

Métodos numéricos

Ejercicio 1 (nivel: 1r ciclo )

La función $ f(x) = e^{-x}+4x^3-5$ tiene una raíz en $ x=1.05151652$ . Empezando con $ x_1 = 1$ y $ x_2 = 2$ , usar ocho iteraciones del método de la bisección para aproximar la raíz. Tabular el error después de cada iteración y también las estimaciones del error máximo. ¿El error real siempre es menos que la estimación del error máximo? Los errores reales continúan disminuyendo?

Solución ( nicco )

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Ejercicio 2 (nivel: 1r ciclo )

Encontrar la raíz cerca de $ x=1$ de $ f(x) = e^{x-1} - 5x^3$ empezando con $ x_0 = 1$ . ¿Cuán exacta es la estimación despues de cuatro iteracciones del método de Newton? ¿cuántas iteraciones requiere el método de la bisección para lograr la misma exactitud?. Tabule el número de dígitos correctos en cada iteracción del método de Newton y observe si se duplican cada vez. (Solución $ r = 0.49404364$ )

Solución ( nicco )

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Ejercicio 3 (nivel: 1r ciclo )

Usando el método de eliminación gaussiana con pivoteo y sustitución regresiva, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

$\displaystyle \begin{pmatrix}2&4&-1&2 4&0&2&1 1& 3& -2& 0 3 & 2 & 0 & 5... ... x_2 x_3 x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 7 3 2 \end{pmatrix}$    

Calcule el determinante y la descomposición LU de la matriz de coeficientes.

Solución ( nicco )

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Ejercicio 4 (nivel: 1r ciclo )

Utilizar el método de reducción de Crout para obtener una descomposición $ LU$ de la matriz:

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{cccc} 2&4 &-1 &-2 \\ 4&0 & 2 & 1 \\ 1&3 &-2 & 0 \\ 3& 2 & 0 & 5 \\ \end{array}\right ) $

Solución ( nicco )

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Ejercicio 5 (nivel: 1r ciclo )

Dado que $ Ln(2) = 0.69315$ , $ Ln(3) = 1.0986$ y $ Ln(6) = 1.7918$ , interpole con un polinomio de Lagrange el logarítmo natural de cada entero desde $ 1$ hasta $ 10$ . Tabule lo anterior junto con el error en cada punto.

Solución ( nicco )

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Ejercicio 6 (nivel: 1r ciclo )

Dados los datos:
$ x$ $ y$
$ 1$ $ 5.04$
$ 2$ $ 8.12$
$ 3$ $ 10.64$
$ 4$ $ 13.18$
$ 5$ $ 16.20$
$ 6$ $ 20.04$
Realizar un ajuste por mínimos cuadrados de los mismos a una recta y a una cuadrática. ¿Cuál de los dos ajustes es mejor?

Solución ( nicco )

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Ejercicio 7 (nivel: 1r ciclo )

La siguiente tabla tiene valores para $ f(x)$ . Integre entre $ x=1.0$ y $ x=1.8$ usando la regla trapezoidal con $ h=0.1$ , $ 0.2$ y $ 0.4$ .
$ x$ $ 1.0$ $ 1.1$ $ 1.2$ $ 1.3$ $ 1.4$ $ 1.5$ $ 1.6$ $ 1.7$ $ 1.8$
$ f(x)$ $ 1.543$ $ 1.669$ $ 1.811$ $ 1.971$ $ 2.151$ $ 2.352$ $ 2.577$ $ 2.828$ $ 3.107$

Solución ( nicco )

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Ejercicio 8 (nivel: 1r ciclo )

Usa la integración de Romberg para evaluar la integral de $ f(x)=1/x$ entre $ x=1$ y $ x=2$ . Lleva seis decimales y continua hasta que no haya cambio en la quinta cifra decimal. Compare con el valor analítico, $ Ln(2)$ .

Solución ( nicco )

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