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Ecuación de Bernoulli

Barbol

Julio 2003

1 Formulación de la ecuación

La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluído bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

$$P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh=constante$$ (1)

2 Parámetros

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes:

• $P$: Es la presión estática a la que está sometido el fluído, debida a las moléculas que lo rodean
• $\rho$: Densidad del fluído.
• $v$: Velocidad de flujo del fluído.
• $g$: Valor de la aceleración de la gravedad ($9.81 m.s^{-2}$ en la superficie de la Tierra).
• $h$: Altura sobre un nivel de referencia.

3 Aplicabilidad

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos. Un fluído se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluídos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluídos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad:

• El fluído se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
• Se desprecia la viscosidad del fluído (que es una fuerza de rozamiento interna).
• Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente.

4 Efecto Bernoulli

El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluído fluja en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.

Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta.

5 Tubo de Venturi

El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por la que fluye el fluído y la velocidad a la que fluye. En dinámica de fluídos existe una ecuación de continuidad que nos garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi.

Un tubo de Venturi es una cavidad de sección $S_{1}$ por la que fluye un fluído y que en una parte se estrecha, teniendo ahora una sección $S_{2}<S_{1}$. Como el caudal se conserva entonces tenemos que $v_{2}>v_{1}$. Por tanto:

$$P_{1}+\rho gh_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=P_{2}+\rho gh_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}$$ (2)

Si el tubo es horizontal entonces $h_{1}=h_{2}$, y con la condición anterior de las velocidades vemos que, necesariamente, $P_{1}>P_{2}$. Es decir, un estrechamiento en un tubo horizontal implica que la presión estática del líquido disminuye en el estrechamiento.

6 Breve historia de la ecuación

Los efectos que se derivan a partir de la ecuación de Bernoulli eran conocidos por los experimentales antes de que Daniel Bernoulli formulase su ecuación, de hecho, el reto estaba en encontrar la ley que diese cuenta de todos esto acontecimientos. En su obra Hydrodynamica encontró la ley que explicaba los fenómenos a partir de la conservación de la energía (hay que hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservación de la energía).

Posteriormente Euler dedujo la ecuación para un líquido sin viscosidad con toda generalidad (con la única suposición de que la viscosidad era despreciable), de la que surge naturalmente la ecuación de Bernoulli cuando se considera el caso estacionario sometido al campo gravitatorio.