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La formación del arco iris
Todos los gráficos de este artículo fueron hechos con el programa Raytracer

Barbol


Date: Septiembre de 2004


1 El arco iris


Todos hemos visto alguna vez el arco iris, el vistoso y colorido arco circular que algunos días se dibuja en el aire. Todos nos hemos fijado que siempre lo vemos en días lluviosos o con niebla; tal vez también en algún día soleado, pero con la condición indispensable de que el agua esté presente, bien porque manejamos una manguera, bien porque el agua salpique al caer de una fuente o una catarata.
Sea cual sea el caso siempre es necesario que el agua esté presente, como formando una pantalla en la que podamos ver el arco, sólo que no es una pantalla, es la mismísima fuente de la que el arco surge.
Hay otro hecho que suele pasar más desapercibido entre la gente (aunque algunos se dan cuenta, como es lógico). ¿Cuántas veces nos ha deslumbrado el Sol porque nos daba en los ojos cuando observábamos el arco iris? Ninguna que nosotros recordemos, porque siempre que miramos directamente al arco tendremos el Sol a nuestra espalda, como bien saben los que se dedican a fotografiar fenómenos naturales como este.
Entonces, ¿qué ocurre en el cielo para que nosotros seamos capaces de ver el arco iris? Por el momento sabemos que el Sol, nuestra fuente de luz principal, estará a nuestras espaldas, de algún modo su luz interactúa con las gotas que tenemos enfrente y vuelve hacia nosotros, llegando a nuestros ojos en colores separados: en las secciones siguientes veremos qué procesos físicos están implicados ahí.

2 La intensidad del arco iris


Comenzaremos nuestro estudio acerca de la física del arco iris estudiando la intensidad de la luz que nos llega.
Cuando la luz recorre su camino y cambia del medio por el que se mueve a otro sucede un hecho que todos conocemos: parte de la luz continúa viajando en el segundo medio y parte de la luz ``rebota'' al llegar a la frontera y vuelve hacia atrás (como sucede en el vidrio de una ventana, somos capaces de ver lo que hay al otro lado sin problemas porque parte de la luz proveniente de allí pasa, pero a la vez vemos nuestro reflejo, porque parte de la luz viene de vuelta tras encontrarse con la frontera aire-vidrio).
Pues bien, cuando vemos el arco iris está ocurriendo lo mismo. La luz proveniente del Sol se encuentra con las gotitas de agua suspendidas en el aire y parte de ella vuelve hacia atrás y parte de ella penetra en las gotas, sin embargo esa luz que vuelve hacia atrás (la única que nosotros podríamos ver) no viene separada en colores, como se explicará en la sección siguiente.
Para que podamos ver colores es necesario que la luz recorra cierto tiempo la gota de agua, pero claro, una vez que la luz entró en la gota... ¿cómo hacemos que vuelva? Pues no es necesario hacer que vuelva, porque una vez que la luz está dentro del agua vuelve a encontrarse con un cambio de medio, en este caso agua-aire, por lo que parte de la luz pasará de largo y volverá al aire y parte de ella volverá hacia atrás, a través de la gota. Una vez hecho esto se volvera a encontrar la frontera agua-aire y por tanto parte de la luz que aún queda saldrá y podrá llegar hasta nosotros.
Figura 1: Camino óptico recorrido por la luz.
Image gota

Si nos fijamos bien, podemos ver que este proceso se puede repetir tantas veces como queramos, y es cierto, pero cada vez la intensidad de la luz que nos quede dentro de la gota y la luz que vuelve hacia nosotros es menor, hasta que llega un momento que se nos hace totalmente imperceptible (y de hecho se puede considerar que ni hay luz).

3 El espectro de colores


En la sección anterior hemos visto que al encontrarse con una frontera entre dos medios parte de la luz vuelve ``rebotada'' y parte de la luz pasa al otro medio, pues bien, al primer fenómeno, en óptica, se le llama reflexión y al segundo refracción.
Cuando nos encontramos con un fenómeno de reflexión es muy fácil saber qué camino seguirá la luz: imaginemos la línea perpendicular a la superficie que hace de frontera entre un medio y el otro (en este caso la superficie es una esfera y los medios son el aire y el agua), entonces el ángulo que forma el rayo que incide con esa perpendicular es el mismo ángulo que forma el rayo reflejado (una vez que la reflexión ya tuvo lugar) con la perpendicular.
En el caso de que consideremos la refracción la cosa es sencilla, pero no tanto. En este caso la relación de los ángulos que forman el rayo incidente y el ángulo refractado se da mediante sus respectivos senos y unas constantes dependientes del medio, de forma que la ley que rige la refracción es la ley de Snell:

$\displaystyle n_{i}\mathop{\rm sen}\nolimits \theta_{i}=n_{r}\mathop{\rm sen}\nolimits \theta_{r}, $

donde $ n$ se denomina índice de refracción del medio y es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío $ c$ y la velocidad de la luz en el medio en cuestión.
Por lo tanto vemos que en la sección anterior lo que se ha descrito es el caso en el que un rayo de luz se refracta al pasar del aire al agua, después se refleja en la frontera agua-aire y se vuelven a refractar al pasar del agua al aire, desviándose1 según las leyes de la reflexión y refracción antes dadas.
Sin embargo esto no basta para explicar el por qué vemos ese espectro de colores en el arco iris, y es que aún no lo hemos dicho todo acerca del índice de refracción. Es cierto que en algunos casos este índice es una constante, pero en otros es una función de la frecuencia de la luz2, por lo que para cada frecuencia vamos a tener una desviación diferente. Este es el caso del agua, en donde tenemos que para el rojo, el verde y el azul (tres colores diferentes no son más que tres frecuencias diferentes) los índices de refracción correspondientes son $ n_{rojo}=1.32986$ , $ n_{verde}=1.33580$ y $ n_{azul}=1.34009$ .
Por tanto, un simple análisis matemático de la ley de Snell, a la vista de estos datos, nos lleva a la conclusión de que el azul se desviará más que el verde y éste más que el rojo, es decir, los diferentes colores se irán desviando y separándose unos de otros en orden creciente de frecuencia.
Figura 2: Separación del rojo, el verde y el azul dentro de la gota.
Image gota2

Es por esa razón, entonces, que la luz procedente del Sol, al entrar y salir de las gotas de agua, se separa en colores. Ya entendemos la palabra ``iris'' del nombre del arco iris. Pasemos, pues, a la explicación de la palabra ``arco'', tanto en su forma como en su tamaño.

4 ¿Por qué es un arco?


Indudablemente el arco iris es un arco de circunferencia, por qué esto es así fue resuelto de un modo aproximado por Descartes en su Discurso del método, aunque posteriormente el tratamiento fue mejorado por Airy. Nosotros veremos una justificación similar a la dada por Descartes, para ello haremos dos observaciones.
La primera es hacer notar que el hecho de que el arco iris es un arco de circunferencia significa que si miramos hacia el centro del mismo encontraremos que el arco iris está situado siempre al mismo ángulo, tomándonos a nosotros como vértices de dicho ángulo. Esto será evidente más adelante.
La segunda de las observaciones trata sobre la física del asunto. Sabemos que los colores del arco iris no son más que la luz del Sol refractada en gotas de agua, pues bien, como el Sol es una fuente de luz situada muy lejos podemos considerar que los rayos que nos llegan del mismo vienen todos paralelos entre si, es lo que se llama aproximación paraxial, como bien saben los estudiantes de óptica.
Una vez dicho esto continuemos: hemos visto en la sección anterior que dependiendo del índice de refracción encontraremos que los rayos de luz se desviarán más o menos, pero esta desviación no sólo depende de ese índice, si miramos la ley de Snell podemos ver que el ángulo refractado $ \theta_{r}$ también va a depender del ángulo de incidencia $ \theta_{i}$ . ¿Cuál es este ángulo en el problema que nos atañe? Pues como del Sol nos vienen muchos rayos paralelos entre si tenemos exactamente un rayo para cada ángulo que imaginemos (siempre entre $ 0^{\circ}$ y $ 90^{\circ}$ , como es natural). Si hacemos una pequeña simulación en un ordenador para la luz roja que incide sobre una gota de agua obtenemos lo siguiente:
Figura 3: Luz roja procedente del Sol.
Image gota3

Si nos fijamos en la figura 3 el ángulo que forman la luz incidente del Sol y la luz que viene de vuelta tras refractarse, reflejarse y volverse a refractar en la gota va creciendo a medida que el ángulo $ \theta_{i}$ aumenta, hasta llegar a un ángulo de desviación máximo, a partir del cual ese ángulo comienza a disminuír. Descartes demostró que, tal y como se ve en el dibujo, hay una concentración de rayos de luz en esa zona, con lo que si esos rayos concentrados llegan a nuestro ojo notaremos que predomina el color rojo en esa zona del cielo.
Para conocer el ángulo de desviación máximo (que llamaremos $ \gamma$ ) fijémonos en el siguiente diagrama:
Figura 4: Diagrama para la resolución del problema.
Image descartes
donde hemos llamado $ \alpha$ a lo que antes llamábamos $ \theta_{i}$ y $ \beta$ a lo que antes era $ \theta_{r}$ . Debido a que una esfera son $ 360^{\circ}$ y que la suma de los ángulos de un triángulo son $ 180^{\circ}$ , tenemos que $ 360^{\circ}=\gamma+2\alpha+2(180^{\circ}-2\beta)$ , es decir:

$\displaystyle \gamma=4\beta-2\alpha, $

en donde, si consideramos que el rayo proviene del aire ($ n=1$ ) y tenemos en cuenta la ley de Snell: $ \beta=\mathop{\rm sen}\nolimits ^{-1}\left(\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha}{n}\right)$ .
Ahora hemos de hechar mano de las reglas del cálculo infinitesimal y encontrar el ángulo $ \alpha$ para el cual la desviación $ \gamma$ es mayor, el lector que no esté familiarizado con las matemáticas puede saltarse esta demostración. Para encontrar dicho ángulo sólo tenemos que derivar $ \gamma$ respecto a $ \alpha$ e igualar a cero (que es un máximo se deja como ejercicio para el que tenga tiempo y ganas):

$\displaystyle \gamma=4\beta-2\alpha$ $\displaystyle =4\mathop{\rm sen}\nolimits ^{-1}\left(\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha}{n}\right)-2\alpha,$    
$\displaystyle \frac{\mathop{\rm d\!}\nolimits \gamma}{\mathop{\rm d\!}\nolimits \alpha}$ $\displaystyle =4\frac{\cos\alpha/n}{\sqrt{1-\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\alpha/n^{2}}}-2=0,$    
$\displaystyle 2\cos\alpha$ $\displaystyle =n\sqrt{1-\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\alpha/n^{2}},$    
$\displaystyle 2\sqrt{1-\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\alpha}$ $\displaystyle =n\sqrt{1-\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\alpha/n^{2}},$    
$\displaystyle 4(1-\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\alpha)$ $\displaystyle =n^{2}-\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\alpha,$    
$\displaystyle 4-n^{2}$ $\displaystyle =3\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\alpha,$    
$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{4-n^{2}}{3}}.$    



Como vemos al final nos queda una fórmula que nos permite conocer qué ángulo de incidencia nos dará una desviación máxima del rayo que a nosotros nos interesa para cada índice de refracción. Si ponemos el dato conocido de que para la frecuencia correspondiente al color rojo $ n_{agua}\approx1.33$ entonces tenemos que $ \alpha_{rojo}=59^{\circ}35'5''7$ , con lo que el ángulo de desviación máxima queda en $ \gamma_{rojo}=42^{\circ}30'58''98$ .
Resumamos, entonces, lo obtenido en este apartado. Al incidir los múltiples rayos que provienen del Sol sobre una gota éstos se reflejan y refractan de modo tal que algunos de ellos se ``amontonan'' alrededor del ángulo de desviación máxima, de modo tal que el color de esos rayos será predominante en esa zona. Además hemos visto que para el rojo ese ángulo máximo donde ese color será el predominante son aproximadamente $ 42.5^{\circ}$ . Por lo tanto lo que demostró Descartes es que para observar el arco iris debemos mirar las gotas con un ángulo de $ 42^{\circ}$ respecto a la línea que une la fuente de luz (en este caso el Sol) con las gotas. Además, se puede ver fácilmente que el ángulo que forman los rayos provenientes del arco iris y el rayo del Sol que atravesaría nuestro ojo forman ese mismo ángulo.

5 El ancho del arco iris


En la sección anterior hemos hecho el cálculo de la desviación que sufre un rayo de la frecuencia corresponiente al rojo, pero ya hemos dicho que el índice de refracción cambia de una frecuencia a otra por tratarse el agua de un medio dispersivo3, por lo tanto para otros colores esos ángulos de desviación serán diferentes.
Haciendo la misma simulación para el color azul obtenemos lo siguiente:
Figura 5: Luz azul procedente del Sol.
Image gota5

Que por si sólo no nos dice mucho, pero si comparamos los rayos de la zona concentrada de este color y el rojo obtenemos:
Figura 6: La acumulación de rayos para luz roja y azul.
Image gota6

Como se comienza a ver en la figura 6, la desviación de los rayos rojos es mayor. Si hacemos el cálculo para el azul obtenemos que $ \alpha_{azul}=59^{\circ}0'15''$ y $ \gamma_{azul}=41^{\circ}4'15''53$ , es decir, el ángulo con el que hay que mirar para ver el azul es menor que el correspondiente al rojo, por lo que estará más abajo, o dicho de otro modo, el azul es un color interior al rojo.
Si hacemos el cálculo para el violeta (el umbral de visión por arriba de las frecuencias electromagnéticas4) obtenemos un resultado aproximado de $ 40^{\circ}$ . Por lo tanto vemos que entre el rojo y el violeta (los dos colores frontera del arco iris) hay una distancia angular de unos $ 2^{\circ}$ , que es el ancho del arco iris, y esto es así siempre.

6 La longitud del arco


Ahora que sabemos todo esto acerca del arco iris, es sencillo saber por qué a veces es más grande o más pequeño, dependerá de la altura del Sol sobre el horizonte de modo que podamos abarcar más longitud del arco situado a $ 42^{\circ}$ o menos.

7 El arco secundario


Tal vez alguna vez hayáis oído hablar de que hay dos arco iris, y no uno sólo, pues bien, el primer arco iris se corresponde con el proceso que ya vimos en que la luz del Sol entra en la gota, ``rebota'' contra el aire y sale de la gota hacia nosotros; el segundo arco iris se ve cuando la luz que llega a nuestros ojos sufrió dos ``rebotes'' dentro de la gota, en este caso se pierde bastante luz que sí atraviesa la frontera agua-aire, con lo que el arco secundario es mucho menos intenso que el primario.
La razón de su existencia se debe a que no sólo inciden rayos procedentes del Sol sobre la gota por la mitad superior (que fue lo que vimos en la sección correspondiente), también algunos de los rayos que inciden por la mitad inferior son capaces de volver hacia atrás concentrados en una región, como vemos en la siguiente simulación:
Figura 7: El camino óptico que forma el arco secundario.
Image secundario1

En este caso el cálculo del ángulo que se desvían los rayos es un poco más complejo (pero no excesivamente) y nos arroja un resultado de unos $ 53^{\circ}$ . Por tanto el arco iris secundario, además de ser menos intenso, aparece más alto en el cielo, más allá del arco iris primario, pero no es esa la única diferencia entre ambos arco iris, veamos qué ocurre cuando la luz blanca se descompone en los diferentes colores dentro de una gota, yendo por el camino que estudiamos con el arco iris principal y yendo por el camino del arco iris secundario:
Figura 8: El camino óptico que forma el arco secundario.
Image secundario2

Como se puede ver en el dibujo... ¡los colores se invierten! Así, si en el primer caso los colores del arco iris van, desde dentro hacia afuera, del violeta al rojo, mientras que en el arco iris secundarion van de rojo al violeta.

8 Últimas consideraciones


Todas estas explicaciones sirvieron para explicar, a grosso modo, el aspecto del fenómeno que conocemos como arco iris. Sin embargo hay que hacer un par de comentarios antes de acabar.
En realidad el modelo de rayos de luz en la óptica no es el más riguroso, da resultados válidos la mayor parte de las veces (como en este artículo), pero no da cuenta de algunos hechos que sí suceden en el mundo real. El modelo que se suele usar para el estudio de la óptica se deduce de las ecuaciones de Maxwell y su predicción de ondas electromagnéticas, representando a la luz no por rayos, sino por frentes de onda.
Si tuviésemos en cuenta este paradigma encontraríamos el fenómeno de las interferencias al estudiar la luz que nos volvía de vuelta tras refractarse y reflejarse en el agua, dando lugar a unos nuevos arcos luminosos, interiores al arco iris primario y exteriores al arco iris secundario (aunque estos últimos son muy difíciles de ver) de colores rosados y verdosos.
Recordamos, ya para finalizar, que a cuando calculamos el ángulo que se desviaba un rayo de luz al entrar en una gota encontrábamos un máximo, a partir del cual, como es lógico, no había ningún otro rayo desviado. Pues debido a esto encontramos una parte en el cielo, justo en la zona que separa el arco iris principal del arco iris secundario, que es más oscura. Se denomina la Zona Oscura de Alejandro, una región anular más oscura, en oposición a los arcos luminosos que se comentaban en el párrafo anterior.

Notas al pie

... desviándose1
Los índices de refracción de estos dos medios se suelen tomar como $ n_{aire}=1$ y $ n_{agua}=1.33$ .
... luz2
Conviene recordar que los diferentes colores no son más que nuestra forma de interpretar diferentes frecuencias electromagnéticas.
... dispersivo3
Que no significa otra cosa que que el índice de refracción depende de la frecuencia.
... electromagnéticas4
Por abajo es el rojo.
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